2015. 7. 11.
우리 주변에는 여러가지의 입체가 있다.
여기서, 우리는 수학에서는 정다면체를 주로 다루게 되는데,
우리가 알고 있는 정다면체에는 어떠한 것들이 있을까?
위의 그림에서 보면 알 수 있듯 총 5가지가 존재한다.
정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정이십면체, 정십이면체....
잘 보면 알 수 있는데, 삼각형으로는 총 3가지의 다면체를 만들 수 있으며, 사각형과 오각형으로는 각각 1가지의 정다면체를 만들 수 있다.
(정육각형은 한 내각의 크기를 구해보면 알 수 있지만, 그 내각 때문에, 3개가 모이면 평면에 포개어지므로 다면체를 만들 수 없다.)
그렇다면, 왜 꼭 5가지 밖에 없는 걸까? 그 외의 것들도 있지 않을까?
이에 대한 답은 '불가능'이다.
정다면체는 오직 5개만이 끝이며, 6개 이상이 될 수 없다. 과연 왜...? 무엇때문에?
한 내각의 크기 공식을 이용하면 누구나 쉽게 증명이 가능하다.
한 내각의 크기 공식은 삼각형, 사각형, 오각형 순으로 유추하면 180(n-2)/n 임을 알 수 있다.
180(n-2)/n 을 이용하자.
한 내각의 크기 공식 180(n-2)/n...
180(n-2)/n 을 이용할 때 유의해야할 점은 n 이 자연수이되 3 이상의 자연수라는 사실이다.
n이 2가 되어버리면 위의 공식은 0/2가 되어버리기 때문이다. 이는 현실세계에 2각형 이 존재하지 않는 이유를 알려주기도 한다.
정다면체는 일정한 크기의 정n각형이 m개 모여 성립한다. 따라서 m개 모여 정n면체를 이룬다고 할 때 여기서 각도는 360º(2ㅠ)를 넘어서는 안 된다. (이는 6각형으로 정n면체를 만들 수 없는 이유이기도 하다.)
따라서 다음과 같은 부등식을 만들 수 있다.
180(n-2)m/n < 360
위의 공식은 한 내각의 크기 180(n-2)/n 이 m개 모이되 360을 넘을 수 없다는 식이다.
(편의상 º 는 제외하였음)
위의 식을 간단히 정리해보자.
180(n-2)m/n < 360
(n-2)m/n < 2
(n-2)m < 2n
mn-2m-2n<0……㉠
위의 ㉠을 간단히 정리하면 (m-2)(n-2)<4 인 부정방정식을 얻을 수 있다.
이를 만족시키는 순서쌍 (m , n)을 구하면 다음과 같다.
(3,3) , (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)
총 5개를 구할 수 있으며, 위의 순서쌍 외의 것은 존재하지 않는다.
위의 순서쌍을 읽는 방법은 다음과 같다.
(m , n) = (기본 정n각형 , 한 꼭지점에 모이는 면의 수)
가령, (4,3) 의 경우 정사각형을 기본으로 하되, 한 점에 모이는 면의 수가 3개. 이런식으로 해석을 하면 된다. 따라서 정n다면체는 오직 5개 뿐이다.
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